Question

9．如圖，已知在等邊△ABC中，AB=AC=BC=8，點D、E分別是邊AC、AB上兩點，且AE=CD，BD交CE于F，連接AF，則AF的最小值為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由△CAE≌△BCD，推出∠ACE=∠CBD，由∠DFC=∠CBD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=60°，推出∠BFC=120°=定值，推出動點F在以O為圓心，OC為半徑的圓弧上，此時∠BOC=120°，連接AO，交BC于G，交⊙O于F′，則易知OB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，AO=2OB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，當點F與點F′重合時，AF的值最小，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠CAE=∠BCD=60°，
在△CAE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BCD，
∴∠ACE=∠CBD，
∵∠DFC=∠CBD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=60°，
∴∠BFC=120°=定值，
∴動點F在以O為圓心，OC為半徑的圓弧上，此時∠BOC=120°，連接AO，交BC于G，交⊙O于F′，
則易知OB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，AO=2OB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，當點F與點F′重合時，AF的值最小，最小值為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故答案為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、圓的有關知識，解題的關鍵是正確探究動點F的運動軌跡，學會利用輔助圓解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．