Question

如果兩個二次函數圖象的開口向上，頂點坐標都相同，那么稱這兩個二次函數互為“同簇二次函數”，顯然“同簇二次函數”不是唯一的．

（1）已知二次函數y=3x²﹣6x+1．

①寫出它的開口方向，頂點坐標；

②請寫出它的兩個不同的“同簇二次函數”．

（2）已知兩個二次函數y₁=a₁（x﹣k₁）²+h₁，y₂=a₂（x﹣k₂）²+h²是“同簇二次函數”，則a₁a₂　　　　　　0，k₁　　　　　　k₂，h₁　　　　　　h₂（均填“＞”、“=“、或“＜”號）

①如果y₃=y₁+y₂也是y₁的“同簇二次函數”，求證：y₃的頂點在x軸上；

②如果直線y=t，與y₁、y₂順次交于點A、B、C、D，且AB=BC=CD，求的值．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）①由a＞0，可判斷出拋物線的開口方向，然后利用配方法可求得拋物線的頂點坐標；

②由“同簇二次函數”的定義寫出兩個頂點坐標為（1，﹣2），a≠3的二次函數即可；

（2）由同簇二次函數可知a₁＞0，a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂；

①列出關于y₃的函數關系式，然后依據“同簇二次函數”的定義可求得h₁=0，從而可求得y₃的頂點在x軸上；

②分別求得y₁=a₁（x﹣k₁）²+h₁與y=t、y₂=a₂（x﹣k₁）²+h₁與y=t的交點橫坐標，最后依據AD=3BC可求得的值．

【解答】解：（1）①∵a=3＞0，

∴拋物線的開口向上．

∵y=3x²﹣6x+1=3（x﹣1）²﹣2，

∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣2）．

②由“同簇二次函數”的定義可知y₁=2（x﹣1）²﹣2，y₂=（x﹣1）²﹣2均是y=3x²﹣6x+1的同簇二次函數．

（2）∵由同簇二次函數可知a₁＞0，a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂，

∴a₁a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂．

故答案為：＞，=，=．

①∵y₃=y₁+y₂，

∴y₃=a₁（x﹣k₁）²+h₁+a₂（x﹣k₂）²+h₂．

∵k₁=k₂，h₁=h₂，

∴y₃=（a₁+a₂）（x﹣k₁）²+2h₁．

∵y₃與y₁互為同簇二次函數．

∴2h₁=h₁．

解得h₁=0．

∴y₃=（a₁+a₂）（x﹣k₁）²．

∴y₃的頂點在x軸上．

②將y₁=a₁（x﹣k₁）²+h₁與y=t聯立解得：x=k₁±．

將y₂=a₂（x﹣k₁）²+h₁與y=t聯立解得：x=k₁±．

∵AB=BC=CD，

∴AD=3BC．

∴2=6．

解得： =9．

【點評】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了配方法求二次函數的頂點坐標、函數圖象的交點與方程組的關系、理解同簇二次函數的概念是解題的關鍵．