Question

5．如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D為線段BC中點，∠EDF=∠ABC，AE=CD．
（1）如圖（1），EF交AD于點G，∠ABC=60°，求∠ADF的度數；
（2）如圖（2），EF交AD于點G，G為AD中點，2∠FDC=∠ABC，求證：AE=2EG；
（3）如圖（3），若∠ABC=45°，請直接寫出線段AE、EF之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）先判定△ABC是等邊三角形，△BDE是等邊三角形，求得∠ADC=90°，再根據∠ADF=∠ADC-∠CDF進行計算，即可求得∠ADF的度數；
（2）先過點D作DH∥AE交EF于H，得到∠EAG=∠HDG，∠BED=∠HDE，再判定△AEG≌△DHG（ASA），得出AE=DH=CD，EG=HG，再判定△CDF≌△HDF（SAS），最后根據∠DEH=∠EDH，得到DH=EH=2EG，進而得出AE=2EG；
（3）先過點D作DG⊥AB于G，根據△ABC是等腰直角三角形，得出△ADG是等腰直角三角形，設AG=DG=1，進而得到AD=$\sqrt{2}$=CD=AE，則可得DE²=4-2$\sqrt{2}$，再根據△DEF∽△AED，得出DE²=EF×EA，即4-2$\sqrt{2}$=EF×$\sqrt{2}$，由此求得EF的長，最后判斷出線段AE、EF之間的數量關系．

解答 解：（1）如圖1，∵等腰三角形ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EDF=∠ABC=60°，
∵D為線段BC中點，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∵AE=CD，AB=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等邊三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠CDF=180°-60°-60°=60°，
∴∠ADF=90°-60°=30°；

（2）證明：如圖2，過點D作DH∥AE交EF于H，則∠EAG=∠HDG，∠BED=∠HDE，
∵G是AD的中點，
∴AG=DG，
在△AEG和△DHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠HDG}\\{AG=DG}\\{∠AGE=∠DGH}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△DHG（ASA），
∴AE=DH=CD，EG=HG，
設2∠FDC=∠ABC=∠EDF=2α，則∠CDF=∠BED=∠HDE=$\frac{1}{2}$∠EDF=α，
∴∠FDH=2α-α=α，
∴∠CDF=∠HDF，
在△CDF和△HDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=HD}\\{∠CDF=∠HDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△HDF（SAS），
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=2α，
∴∠DHF=∠C=2α，
∴∠DEH=∠DHF-∠EDH=2α-α=α，
∴∠DEH=∠EDH，
∴DH=EH=2EG，
∴AE=2EG；

（3）EF=（2-$\sqrt{2}$）AE．
理由如下：如圖3，過點D作DG⊥AB于G，
∵∠ABC=45°，AB=AC，
∴∠C=45°，即△ABC是等腰直角三角形，
∵D為線段BC中點，
∴∠BAD=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
設AG=DG=1，則AD=$\sqrt{2}$=CD=AE，
∴EG=AE-AG=$\sqrt{2}$-1，
∴Rt△DEG中，DE²=DG²+EG²=1²+（$\sqrt{2}$-1）²=4-2$\sqrt{2}$，
∵∠EDF=∠ABC=EAD=45°，∠FED=∠DEA，
∴△DEF∽△AED，
∴$\frac{FE}{DE}$=$\frac{DE}{AE}$，即DE²=EF×EA，
∴4-2$\sqrt{2}$=EF×$\sqrt{2}$，
解得EF=$\frac{4-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-2，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，
即EF=（2-$\sqrt{2}$）AE．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要主要考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形以及等腰直角三角形，運用全等三角形的對應邊相等以及等腰直角三角形的邊角關系進行求解．