Question

如圖1所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，BE交AC于F，點P是AC上任意一點，連接PD、PE．
（1）如圖2，P₁P₂是AC上的兩點，觀察并比較P₁D+P₁E與P₂D+P₂E的大小（只須說明結論，不必說明理由）；
（2）若P₃是AC上另外一點，且P₃D+P₃E比P₁D+P₁E與P₂D+P₂E都小，你能確定P₃的大致位置嗎？
（3）在對角線AC上是否存在點P，使PD+PE的和最小？若不存在，請說明理由；若存在，請說出這個最小值，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點B、D關于對角線AC對稱，可得出P₁D+P₁E大于P₂D+P₂E的長；
（2）根據題意可得出在AC上到D、E兩點距離最小的點連接BE與AC的交點，離交點越遠到D、E兩點的距離越大，則得出P₃的大體位置是F處；
（3）連接BE，交AC于點P，則PD+PE的和最小．根據三角形的三邊關系定理可得出結論．
解答：解：（1）由對稱的性質得，P₁D+P₁E＞P₂D+P₂E；

（2）∵P₃是AC上另外一點，且P₃D+P₃E比P₁D+P₁E與P₂D+P₂E都小，
∴P₃是點F；

（3）連接BE，交AC于點P，連接DP．
∵點B與D關于AC對稱，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面積為12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值為2．
理由是：
在AC上任取一點Q，連接QD，QB，QE，
∵點B與D關于AC對稱，
∴QD=QB，
∴QD+QE=QB+QE＞BE（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）．
∴PD+PE的和最小，最小值為2．
點評：本題考查的知識點是軸對稱-最短路徑問題及正方形的性質、等邊三角形的性質，此題的難點主要是確定點P的位置．注意充分運用正方形的性質：正方形的對角線互相垂直平分．再根據對稱性確定點P的位置即可．