Question

有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4,DE=。 將這副直角三角板按如圖(1)所示位置擺放，點B與點F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上．現固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當點F運動到點A時停止運動．

（1）如圖(3)，在三角板DEF；運動過程中，當EF經過點C時，∠FCB=        度；BF=          ；

（2）如圖(2)在三角板DEF運動過程中，EF與BC交于點M，過點M做MN⊥AB于點N，設BF=x，用x的代數式表示MN；

（3）在三角板DEF運動過程中，設BF=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數解析式，并求出對應的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∠FCB=15°；BF=  

（2）因為MN⊥AB于點N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN

又∵NF==MN，BN=NF+BF，

∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．

（3）在三角板DEF運動過程中，

（I）當0≤x≤2時，如答圖1所示：

y=S_△BDG﹣S_△BFM

=BD•DG﹣BF•MN

=（x+4）²﹣x•x

=x²+4x+8；

（II）當2＜x≤6﹣時，如答圖2所示：

y=S_△ABC﹣S_△BFM

=AB•AC﹣BF•MN

=×6²﹣x•x

=x²+18；

（III）當6﹣＜x≤6時，如答圖3所示：

由BF=x，則AF=AB﹣BF=6﹣x，

設AC與EF交于點M，則AM=AF•tan60°=（6﹣x）．

y=S_△AFM=AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）

=x²﹣x+．

綜上所述，y與x的函數解析式為：

y=．