Question

18．如圖，△ABC中，∠BAC的角平分線AD和線段BC的垂直平分線FD相交于點D，DE⊥AC于點E．
求證：AB+AC=2AE．

Answer 1

分析 連接DB、DC，作DM⊥AB于M．根據HL證出Rt△DMB≌Rt△DNC，Rt△ADM≌△ADE即可．

解答 證明：連接DB、DC，作DM⊥AB于M．

∵FD是BC的垂直平分線，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DE⊥AC，
∴DM=DE，∠DMB=∠CED=90°，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{DM=DE}\end{array}\right.$
∴Rt△DMB≌Rt△DEC（HL），
∴BM=CE，
在Rt△ADM和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DM=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ADE，
∴AM=AE，
∴AB+AC=（AM-BM）+（AE+EC）=2AE．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，線段的垂直平分線性質，角平分線的性質的應用，解題的關鍵是靈活運用所學知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質，屬于中考常考題型．