Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是CD上一點，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA．
（1）求∠APB的度數；（2）如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周長．

Answer 1

（1）90°；（2）24cm

試題分析：（1）根據平行四邊形性質得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB即可；
（2）求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，即可求出答案．
（1）∵ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CB，AB∥CD
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，
∴在△APB中，∠APB=180﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；
（2）∵AP平分∠DAB且AB∥CD，
∴∠DAP=∠PAB=∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=5cm
同理：PC=CB=5cm
即AB=DC=DP+PC=10cm，
在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，
∴BP==6cm，
∴△APB的周長是6+8+10=24cm．
點評：平行四邊形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.