Question

5．已知如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸相交于B（x₁，0）、C（x₂，0）（x₁，x₂均大于0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點．過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A，其面積為$\frac{25π}{4}$．
（1）請確定拋物線的解析式；
（2）M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交⊙P于點D．若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．（先畫出符合題意的示意圖再求解）．

Answer 1

分析 （1）根據題意結合垂徑定理的推論得出B，C點坐標，進而利用待定系數法求出二次函數解析式；
（2）根據題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況：①∠ABD和∠AOB對應，此時AD是⊙P的直徑，②∠BAD和∠AOB對應，此時BD是⊙P的直徑，所以直線MB過P點，分別求解．

解答 解：（1）根據題意知：圓半徑PA=$\frac{5}{2}$，取BC中點為E，連接PB，PE，則PE⊥BC
且PB=PA=$\frac{5}{2}$，PO=OA=2，
由勾股定理和圓性質知：
BE=CE=$\frac{3}{2}$，
從而知：B（1，0），C（4，0），
將B，C兩點坐標代入拋物線方程y=ax²+bx+2得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式是：$y=\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{2}x+2$；

（2）根據題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況：
①如圖2，∠ABD和∠AOB對應，此時AD是⊙P的直徑，
則AB=$\sqrt{5}$，AD=5，BD=2$\sqrt{5}$，
∵Rt△AMB∽Rt△DAB，
∴$\frac{MA}{AD}$=$\frac{AB}{BD}$，
即MA=$\frac{AB•AD}{BD}=\frac{5}{2}$
又∵Rt△AMB∽Rt△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即MB•MD=MA²=$\frac{25}{4}$；

②如圖3，∠BAD和∠AOB對應，此時BD是⊙P的直徑，所以直線MB過P點，
∵B（1，0），P（$\frac{5}{2}$，2），
設直線MB的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{\frac{5}{2}k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線MB的解析式是：$y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$
∴M點的坐標為（0，$-\frac{4}{3}$）
∴AM=$\frac{10}{3}$，
∵△MAB∽△MDA，
∴$\frac{MA}{MD}$=$\frac{MB}{MA}$，
∴MB•MD=MA²=$\frac{100}{9}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及待定系數法求函數解析式等知識，根據題意利用分類討論得出MB•MD的值是解題關鍵．