Question

如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于E，D是AE延長線上一點，且∠BDC=120°．下列結論：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE．其中正確結論的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ECB=

1

2

∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故①正確；
如圖，過點D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延長線于G，
∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線，
∴AD為∠BAC的平分線，
∴DF=DG，
∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°，
又∵∠BDC=120°，
∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，
∴∠BDF=∠CDG，
∵在△BDF和△CDG中，

∠BFD=∠CGD=90° DF=DG ∠BDF=∠CDG

，
∴△BDF≌△CDG（ASA），
∴DB=CD，
∴∠DBC=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=

1

2

∠BAC=30°，
根據三角形的外角性質，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE，故②正確；
∵DB=DE=DC，
∴B，C，E三點在以D為圓心，以BD為半徑的圓上，
∴∠BDE=2∠BCE，故③正確；
綜上所述，正確的結論有①②③共3個．
故選D．