Question

（本題滿分10分）某種規格小紙杯的側面是由一半徑為、圓心角是的扇形剪去一半徑的同心圓扇形所圍成的（不計接縫）（如圖1）．

（1）求紙杯的底面半徑和側面積（結果保留）；

（2）要制作這樣的紙杯側面，如果按照圖2所示的方式剪裁（不允許有拼接），至少要用多大的矩形紙片？

（3）如圖3，若在一張半徑為的圓形紙片上剪裁這樣的紙杯側面（不允許有拼接），最多能裁出多少個？

Answer 1

（1）底面半徑為，側面積為；

（2）需要長為，寬為的矩形紙片；

（3）9個

【解析】

試題分析：（1）要求底面半徑，需先求底面周長，而底面周長為圖（1）中的弧長，相關數據代入弧長公式即可.而側面積即為圖（1）中的扇環，將大扇形面積減去小扇形面積即得；（2）聯結，可證得即為長方形的長，而所在的為正三角形，故易求.再過作，交于，交于，根據垂徑定理可證得即為長方形的寬，求出長，再求即得長；（3）本小題容易想到的是直接在圓環上能裁出6個，此時中間還有一個以為半徑的小圓，考慮到圓環的半徑為，正好為小圓半徑的一半，故可先在小圓中構造一個邊長為的正六邊形，再取三條互不相鄰的邊的中點，故在此正六邊形中裁出3個扇環，故總共9個.

試題解析：（1），

底面周長為 底面半徑為

側面積為扇環的面積，故

答：紙杯的底面半徑為，側面積為.

（2）連接，過作，交于，交于 ，

是等邊三角形

又也是等邊三角形 即為長方形的長

，

由垂徑定理知，即為長方形的寬 所需長方形的兩邊長分別為和.

（3）扇形的圓心角為 在以為圓心，為半徑的大圓和以為半徑的小圓組成的圓環中可剪出6個圓環（即小紙杯的側面）

剩下的一個半徑的圓中可按照如下方法剪圓環.作六邊形，顯然邊長為，將、、兩邊延長，分別相交于點、、，則以、、為圓心為半徑畫弧，三條弧相切于、、的中點，顯然又可剪3個

最多可剪出9個紙杯的側面（如圖所示）

考點：1.扇形（扇環）的面積計算；2.弧、弦的長度計算；3.圖形的綜合處理能力.