Question

如圖，反比例函數(x＞0)的圖象經過線段OA的端點A，O為原點，作AB⊥x軸于點B，點B的坐標為(2，0)，tan∠AOB=，將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數(x＞0)的圖象恰好經過DC的中點E。

（1）求k的值和直線AE的函數表達式；

（2）若直線AE與x軸交于點M、與y軸交于點N，請你探索線段AN與線段ME的大小關系，寫出你的結論并說明理由.

Answer 1

（1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴=，∴AB=3，∴A點的坐標為（2，3）∴k=xy=6    ；∵DC由AB平移得到，點E為DC的中點，

∴點E的縱坐標為，又∵點E在雙曲線上，∴點E的坐標為（4，）設直線MN的函數表達式為y=k₁x+b，則， 解得 ，

∴直線MN的函數表達式為�！�

（2）結論：AN=ME   

理由：在表達式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=，∴點M（6，0），N（0，）…1分

解法一：延長DA交y軸于點F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，

∴NF=ON－OF=，∵CM=6－4=2=AF，EC==NF，

∴Rt△ANF≌Rt△MEC，∴AN=ME  

解法二：延長DA交y軸于點F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，

∴NF=ON－OF=，∴根據勾股定理可得AN= ，∵CM=6－4=2，EC= ∴根據勾股定理可得EM=  ∴AN=ME…

解法三：連接OE，延長DA交y軸于點F，則AF⊥ON，且AF=2，

∵S_△EOM，S_△AON

∴S_△EOM= S_△AON，∵AN和ME邊上的高相等，∴AN=ME…