Question

如圖，以△ABC的各邊為邊，在BC的同側分別作三個正五邊形．它們分別是正五邊形ABFKL、BCJIE、ACHGD，試探究：

（1）四邊形ADEF是什么四邊形？

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是正方形？

（不需證明）

（3）四邊形ADEF一定存在嗎？為什么？

Answer 1

（1）∵正五邊形ABFKL、BCJIE， ∴BF=BA，BE=BC----------1分

又∵∠3＝108°－∠2＝∠1-------------1分； ∴△FBE≌△ABC∴EF＝AC，∠4＝∠5

∵正五邊形ACHGD，∴AC＝DA， ∴EF＝DA--------------------1分；

又∵∠FAD＝360°－∠BAF－∠4－∠CAD＝360°－36°－108°－∠4＝216°－∠4；

∠EFA＝∠5－∠AFB＝∠5－36°；

∴∠FAD＋∠EFA＝216°－∠4＋∠5－36°＝180°，

∴EF∥DA，∴四邊形ADEF是平行四邊形；-----------------3分

（2）當∠BAC=126°，且AB=AC(或AC=2cos36°)時，四邊形ADEF是正方形；-------（兩個條件各2分，共4分）

（3）當∠BAC=36°時，點D、A、F在同一直線上，以A,D,E,F為頂點的四邊形不存在（2分）