Question

15．如圖，Rt△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，∠ACB=90°．若AF=4，CF=1．則BD的長是$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 設BD=x，由切線長定理可得BE=BD=x，AD=AF=4，CE=CF=1，因為△ACB是直角三角形，所以可根據勾股定理建立關于x的方程，解方程即可．

解答 解：
設BD=x，
∵Rt△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，
∴得BE=BD=x，AD=AF=4，CE=CF=1，
∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
即5²+（x+1）²=（4+x）²，
解得：x=$\frac{5}{3}$，
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．同時也考查了切線長定理以及勾股定理的運用．