Question

5．某商店購進一批單價為30元的日用商品，如果以單價40元銷售，那么每星期可售出400件．根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件．設銷售單價為x（元）（x＞40）時，該商品每星期獲得的利潤y（元）．
（1）求出y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（2）求出銷售單價為多少元時，每星期獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據“實際銷量=原計劃銷量-因價格提高減少的銷量”表示出銷售量，再根據：每周利潤=每件利潤×實際銷售量可列出函數關系式；由銷售量≥0確定x的取值范圍；
（2）將（1）中函數關系式配方成頂點式，依據頂點式可得其最大值．

解答 解：（1）根據題意，當銷售單價定為x元時，其每周銷售量為：400-20（x-40），
則該商品每星期獲得的利潤y=（x-30）[400-20（x-40）]=-20x²+1800x-36000，
即y=-20x²+1800x-36000，
∵其每周銷售量400-20（x-40）≥0且x＞40，
∴40＜x≤60；
（2）由（1）知y=-20x²+1800x-36000，
配方得：y=-20（x-45）²+4500，
∵-20＜0，且40＜45＜60，
∴當x=45時，y_最大值=4500，
答：銷售單價為45元時，每星期獲得的利潤最大，最大利潤是4500元．

點評 本題主要考查二次函數的實際應用能力，將實際問題根據相等關系建立二次函數關系是關鍵．