Question

9．在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（4，3），反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象經過點B．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）一次函數y=ax-1的圖象與y軸交于點D，與反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象交于點E，且△ADE的面積等于6，求一次函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線OE與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于第一象限的點P，將直線OE向右平移$\frac{21}{4}$個單位后，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于點Q，與x軸交于點H，若QH=$\frac{1}{2}$OP，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決．
（2）設點E（x_E，y_E），由△ADE的面積=6，得$\frac{1}{2}$•AD•|x_E|=6，列出方程即可解決．
（3）設點P（x_P，y_P），取OP中點M，則OM=$\frac{1}{2}$OP，則M（$\frac{1}{2}$x_P，$\frac{2}{3}$x_P），Q（$\frac{1}{2}$x_P+$\frac{21}{4}$，$\frac{2}{3}$x_P），列出方程求出x_P即可解決問題．

解答 解：（1）∵反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象經過點B（4，3），
∴$\frac{m}{4}$=3，
∴m=12，
∴反比例函數解析式為y=$\frac{12}{x}$．

（2）∵四邊形OABC是矩形，點B（4，3），
∴A（0，3），C（4，0），
∵一次函數y=ax-1的圖象與y軸交于點D，
∴點D（0，-1），AD=4，設點E（x_E，y_E），
∵△ADE的面積=6，
∴$\frac{1}{2}$•AD•|x_E|=6，
∴x_E=±3，
∵點E在反比例函數y=$\frac{12}{x}$圖象上，
∴E（3，4），或（-3，-4），
當E（3，4）在一次函數y=ax-1上時，
4=3a-1，
∴a=$\frac{5}{3}$，
∴一次函數解析式為y=$\frac{5}{3}$x-1，
當點（-3，-4）在一次函數y=ax-1上時，
-4=-3a-1，
∴a=1，
∴一次函數解析式為y=x-1，
綜上所述一次函數解析式為y=x-1或y=$\frac{5}{3}$x-1．

（3）由（2）可知，直線OE解析式為y=$\frac{4}{3}$x，設點P（x_P，y_P），取OP中點M，則OM=$\frac{1}{2}$OP，
∴M（$\frac{1}{2}$x_P，$\frac{2}{3}$x_P），
∴Q（$\frac{1}{2}$x_P+$\frac{21}{4}$，$\frac{2}{3}$x_P），
∴H（$\frac{21}{4}$，0），
∵點P、Q在反比例函數y=$\frac{k}{x}$圖象上，
∴x_P•$\frac{4}{3}$x_P=（$\frac{1}{2}$x_P+$\frac{21}{4}$）$\frac{2}{3}$x_P，
∴x_P=$\frac{7}{2}$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{14}{3}$），
∴k=$\frac{49}{3}$．

點評 本題考查反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題，矩形的性質、坐標與圖形的變化等知識，解題的關鍵是把問題轉化為方程，學會利用參數解決問題，屬于中考常考題型．