Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），將線段OP沿y軸正方向移動m（m＞0）個單位長度至O′P′，以O(shè)′P′為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O′P′Q，若點(diǎn)Q在直線y=x上，則m的值為2或3．

Answer 1

分析 以O(shè)′P′為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O′P′Q，需要分兩種情況進(jìn)行討論，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，判定全等三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)邊相等，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系以及平移的方向，得出平移的距離即可．

解答 解：①如圖所示，當(dāng)△O′P′Q為等腰直角三角形時，過點(diǎn)P'作P'A⊥y軸于A，過Q作QB⊥y軸于B，則
∠O'AP'=90°=∠QBO'，∠P'O'Q=90°，
∴∠AO'P'+∠BO'Q=90°=∠O'QB+∠BO'Q，
∴∠AO'P'=∠O'QB，
又∵O'P'=QO'，
∴△O'AP'≌△QBO'，
∴AP'=BO'，AO'=BQ，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
∴由平移可得，AP'=1，AO'=2，
∴BO'=1，
當(dāng)點(diǎn)Q在直線y=x上時，BQ=2=BO，
此時OO'=BO'+BO=1+2=3，
即平移的距離m為3；
②如圖所示，過點(diǎn)P'作x軸的平行線交y軸于C，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，交直線CP'于點(diǎn)D，
過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于E，
同理可得，△O'CP'≌△P'DQ，
∴CE=DQ=CP'=1，DP'=CO'=2，
∴CD=EQ=1+2=3=OE，EO'=CO'-CE=2-1=1，
∴OO'=OE-O'E=3-1=2，
即平移的距離m為2，
故答案為：2或3．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形進(jìn)行分類討論，運(yùn)用全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行計算求解．