Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx-3a-5經過點A(2，5)

（1）求出a和b之間的數量關系．

（2）已知拋物線的頂點為D點，直線AD與y軸交于(0，-7)

①求出此時拋物線的解析式；

②點B為y軸上任意一點且在直線y=5和直線y=-13之間，連接BD繞點B逆時針旋轉90°，得到線段BC，連接AB、AC，將AB繞點B順時針旋轉90°，得到線段BH．截取BC的中點F和DH的中點G．當點D、點H、點C三點共線時，分別求出點F和點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x2+4x-11，②G1(，)，F1(，)，G2(，)，F2(，)

【解析】

（1）把點A坐標代入拋物線y=ax2+bx-3a-5即可得到a和b之間的數量關系；

（2）①求出直線AD的解析式，與拋物線y=ax2+bx-3a-5聯立方程組，根據直線與拋物線有兩個交點，結合韋達定理求出a，b，即可求出解析式；

②作AI⊥y軸于點I，HJ⊥y軸于點J.設B（0，t），根據旋轉性質表示粗H、D、C坐標，應含t式子表示直線AD的解析式，根據D、H、C三點共線，把點C坐標代入求出，，分兩類討論，分別求出G、F坐標。

解：（1）把A（2,5）代入y=ax2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5

∴a+2b=10

∴a和b之間的數量關系是a+2b=10

（2）①設直線AD的解析式為y=kx+c

∵直線AD與y軸交于（0，-7），A（2,5）

∴解得即直線AD的解析式為y=6x-7

聯立拋物線y=ax2+bx-3a-5與直線AD：y=6x-7 得

消去y得ax2+（b-6）x-3a+2=0

∵拋物線與直線AD有兩個交點

∴由韋達定理可得：xA+xD==，xAxD=

∵A（2,5）∴xA=2即xD=∵xD==

∴=解得a=2∴b== 4

∴此時拋物線的解析式為y= 2x2+4x-11

②如圖所示：作AI⊥y軸于點I，HJ⊥y軸于點J.設B（0，t）

∵A（2，5），∴AI=2，BJ=5-t

∵AB繞點B順時針旋轉90°，得到線段BH

∴AB=BH，∠ABH=90°，∠AIB=∠BJH=90°

∵∠IAB+∠IBA=90°，∠ABH+∠IBA+∠JBH=180°

∴∠IBA+∠JBH=90°即∠IAB=∠JBH

∴△AJB≌△BJH即AI=BJ=2，BI=IH=5-t

∴H（5-t，t-2）

∵D（-1，-13）∴yB-yD=t+13

同理可得：C（t+13，t-1）

設DH的解析式為y=k1x+b1

∴解得

即直線AD的解析式為

∵D、H、C三點共線

∴把C（t+13，t-1）代入得：

整理得2t2+31t+82=0解得，

由圖可知：①當如圖1所示：

此時H（，） ，C（，）

∵點G為DH中點，點F為BC中點

∴G1（，） ，F1（，）

由圖可知：當如圖2所示：

此時H（，） ，C（，）

∵點G為DH中點，點F為BC中點

∴G2（，） ，F2（，） （14分）

∴綜上所述：G1（，） ，F1（，）

G2（，） ，F2（，）。