Question

（本題12分）如圖甲，在平面直角坐標系中，直線y=x+8分別交x軸、y軸于點A、B，⊙O的半徑為2個單位長度．點P為直線y=x+8上的動點，過點P作⊙O的切線PC、PD，切點分別為C、D，且PC⊥PD．

（1）試說明四邊形OCPD的形狀（要有證明過程）；

（2）求點P的坐標；

（3）如圖乙，若直線y=x+b將⊙O的圓周分成兩段弧長之比為1：3，請直接寫出b的值

（4）向右移動⊙O（圓心O始終保持在x軸上），試求出當⊙O與直線y=x+8有交點時圓心O的橫坐標m的取值范圍。

 

Answer 1

（1）四邊形OCPD是正方形

（2）P的坐標為（2，6）或（6，2）

（3）2或-2

（4）8-2≤m≤8+2

【解析】

試題分析：（1）根據切線長的性質定理可以得出PC=PD，PC⊥OC, PC⊥OD,再由PC⊥PD可以的證.

（2）設出直線y=x+8的點P（m，-m+8），根據切線長的性質和正方形的性質，有勾股定理的出m的值.

（3）分兩種情形，直線y=-x+b將圓周分成兩段弧長之比為1：3，可知被割得的弦所對的圓心角為90°，又直線y=-x+b與坐標軸的夾角為45°，如圖乙可知，分兩種情況，可求得結果.

（4）當圓運動到PO等于半徑且在直線的左面時，則圓和直線有一個交點；當圓運動到直線的右面時與直線相切的點也有一個，從而能知道他們之間的都可以.

試題解析：（1）四邊形OCPD是正方形．證明過程如下：

如圖甲，連接OC、OD．

∵PC、PD是⊙O的兩條切線，

∴∠PCO=∠PDO=90°．

又∵PC⊥PD，

∴四邊形OCPD是矩形．

又∵OC=OD，

∴四邊形OCPD是正方形；

（2）如圖甲，過P作x軸的垂線，垂足為F，連接OP．

∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，

∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，

∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，

∴OD=PD=2，OP=2

∵P在直線y=-x+8上，設P（m，-m+8），則OF=m，PF=-m+8，

∵∠PFO=90°，OF2+PF2=PO2，

∴m2+（-m+8）2=（2）2，

解得m=2或6，

∴P的坐標為（2，6）或（6，2）；

（3）分兩種情形，直線y=-x+b將圓周分成兩段弧長之比為1：3，可知被割得的弦所對的圓心角為90°，又直線y=-x+b與坐標軸的夾角為45°，如圖乙可知，分兩種情況，所以，b的值為2或-2．

故答案是：2或-2．

（4）8-2≤m≤8+2

考點：正方形，圓的切線的性質與判定，一次函數的應用，勾股定理，等腰直角三角形