Question

如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D，過點A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P．連接PC并延長與AB的延長線交于點F．

（1）求證：PC是半⊙O的切線；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求線段BF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC，

∵OD⊥AC，OD經過圓心O，

∴AD=CD，

∴PA=PC，

在△OAP和△OCP中，

，

∴△OAP≌△OCP（SSS），

∴∠OCP=∠OAP

∵PA是⊙O的切線，

∴∠OAP=90°．

∴∠OCP=90°，即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切線．

 

（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=30°，

∴∠COF=60°，

∵PC是⊙O的切線，AB=10，

∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，

∴OF===10，

∴BF=OF﹣OB=5，