Question

20．如圖，邊長為10的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF．則在點E運動過程中，DF的最小值是2.5．

Answer 1

分析 取AC的中點G，連接EG，根據等邊三角形的性質可得CD=CG，再求出∠DCF=∠GCE，根據旋轉的性質可得CE=CF，然后利用“邊角邊”證明△DCF和△GCE全等，再根據全等三角形對應邊相等可得DF=EG，然后根據垂線段最短可得EG⊥AD時最短，再根據∠CAD=30°求解即可．

解答 解：取AC的中點G，連接EG，
∵旋轉角為60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等邊△ABC的對稱軸，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴CD=CG，
又∵CE旋轉到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{∠GCE=∠DCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴DF=EG，
根據垂線段最短，EG⊥AD時，EG最短，即DF最短，
此時∵∠CAD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，AG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×10=5，
∴EG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}$×5=2.5，
∴DF=2.5．
故答案為：2.5．

點評 本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．