Question

3．如圖，直角三角形ABC中，AC=1，BC=2，P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)．PE⊥BC，PF⊥CA，則線(xiàn)段EF長(zhǎng)的最小值為$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先連接PC，判定四邊形ECFP是矩形，得到EF=PC，再根據(jù)當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，根據(jù)垂線(xiàn)段最短，可得當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，最后根據(jù)面積法，求得CP的長(zhǎng)即可得到線(xiàn)段EF長(zhǎng)的最小值．

解答 解：連接PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CA，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四邊形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，
∵垂線(xiàn)段最短，
∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=$\sqrt{5}$，
又∵當(dāng)CP⊥AB時(shí)，$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×CP，
∴PC=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
∴線(xiàn)段EF長(zhǎng)的最小值為$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及垂線(xiàn)段最短的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用矩形對(duì)角線(xiàn)相等的性質(zhì)進(jìn)行求解．