Question

3．如圖，在直徑為50 cm的圓中，有兩條弦AB和CD，AB∥CD，且AB為40 cm，弦CD為48 cm，求AB與CD之間距離．

Answer 1

分析 根據題意畫出圖形，分AB與CD在圓心的同側與異側兩種情況進行討論．

解答 解：如圖1所示，過O作OM⊥AB，
∵AB∥CD，∴ON⊥CD．
在Rt△BMO中，BO=25cm．
由垂徑定理得BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×40=20cm，
∴OM=$\sqrt{O{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}$=15cm．
同理可求ON=$\sqrt{O{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{4}^{2}}$=7cm，
∴MN=OM-ON=15-7=8cm．
當兩弦位于圓心的兩旁時，如圖2所示：
過O作OM⊥AB，
∵AB∥CD，∴ON⊥CD．
在Rt△BMO中，BO=25cm．
由垂徑定理得BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×40=20cm，
∴OM=$\sqrt{O{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}$=15cm．
同理可求ON=$\sqrt{O{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{4}^{2}}$=7cm，
則MN=OM+ON=15+7=22（cm）．
綜上所示，AB與CD之間的距離為8cm或22cm．

點評 此題主要考查的是垂徑定理，解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構建在一個直角三角形里，運用勾股定理求解．分類討論訓練學生思維的嚴謹性．