Question

（1）如圖，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求證：AB=AD．

（2）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC=45°．
①求∠EBC的度數；
②求證：BD=CD．

Answer 1

分析：（1）首先依題意證明△ABC≌△ADC繼而求得AB=AD．
（2）①∠EBC的度數等于∠ABC-∠ABE，因而求∠EBC的度數就可以轉化為求∠ABC和∠ABE，根據等腰三角形的性質等邊對等角，就可以求出．
②在等腰三角形ABC中，根據三線合一定理即可證得．

解答：（1）證明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC．
∵∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ADC．
在△ABC和△ADC中，
∵

∠BAC=∠DAC ∠ABC=∠ADC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
∴AB=AD；

（2）解：①∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
又∵∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=67.5°．
∴∠EBC=22.5°．

②證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=CD．

點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等．同時也考查圓周角定理及等腰三角形的性質的綜合運用．