Question

4．某公司購進一種商品的成本為30元/kg，經市場調研發現，這種商品在未來90
天的銷售單價p（元/kg）與時間t（天）之間的相關信息如下圖，銷售量y（kg）與時間t（天）之間滿足一次函數關系，且對應數據如下表．設第t天的銷售利潤為w（元）                                                             

時間t（天）	10	30
每天的銷售量 y（kg）	180	140

（1）分別求出售單價p（元/kg）、銷售量y（kg）與時間t（天）之間的函數關系式；
（2）問：銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；
（3）在實際銷售的前50天中，公司決定每銷售1kg該商品就捐贈n元利潤（n＜12）給“精準扶貧”對象．現發現：在前50天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數法求出一次函數解析式，進而得出答案；
（2）利用銷量×每千克利潤=總利潤，進而求出答案；
（3）利用二次函數增減性結合對稱軸公式得出n的取值范圍．

解答 解：（1）設y=kt+b，把t=10，y=180；t=30，y=140代入得到：
$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=180}\\{30k+b=140}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=200}\end{array}\right.$，
∴y=-2t+200．
當0＜t＜50時，設p=kt+40，由圖象得B（50，90）
∴50k+40=90，
∴k=1，
∴p=t+40，
當50≤t≤90時，p=90；

（2）由題意可得：w=（-2t+200）（t+40-30）
=-2t²+180t+2000
=-2（t-45）²+6050，
∴t=45時，w_最大值為6050元，
w=（-2t+120）（90-30）=-120t+12000，
∵-120＜0，
∴w隨x增大而減小，
∴t=50時，w_最大值=6000，
綜上所述第45天利潤最大，最大利潤為6050元；

（3）設前50天每天扣除捐贈后的日銷售利潤為m元．
由題意m=-2t²+180t+2000-（-2t+200）n
=-2t²+（180+2n）t+2000-200n，
∵在前50天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，
∴-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{180+2n}{-4}$≥50，
∴n≥10．
又∵n＜12，
∴n的取值范圍為：10≤n＜12．

點評 此題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握各函數的性質和圖象特征，最值問題需由函數的性質求解時，正確表達關系式是關鍵．