Question

在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C，給出如下定義：

若矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的外延矩形．點A，B，C的所有外延矩形中，面積最小的矩形稱為點A，B，C的最佳外延矩形．例如，圖中的矩形，，都是點A，B，C的外延矩形，矩形 是點A，B，C的最佳外延矩形．

（1）如圖1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．

①若，則點A，B，C的最佳外延矩形的面積為 ；

②若點A，B，C的最佳外延矩形的面積為24，則的值為 ；

（2）如圖2，已知點M（6，0），N（0，8）．P（，）是拋物線上一點，求點M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值，以及此時點P的橫坐標的取值范圍；

（3）如圖3，已知點D（1，1）．E（，）是函數的圖象上一點，矩形OFEG是點O，D，E的一個面積最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圓，請直接寫出⊙H的半徑r的取值范圍．

Answer 1

（1）①18；②t=4或t=－1；（2）48；，或；（3）

【解析】

試題分析：（1）根據給出的新定義進行求解；（2）過M點作軸的垂線與過N點垂直于軸的直線交于點Q，則當點P位于矩形OMQN內部或邊界時，矩形OMQN是點M，N，P的最佳外延矩形，且面積最小；根據當y=0是y=8時求出x的值得到取值范圍；（3）根據最佳外延矩形求出半徑的取值范圍.

試題解析：（1）①18； ②t=4或t=－1；

（2）如圖，過M點作軸的垂線與過N點垂直于軸的直線交于點Q，則當點P位于矩形OMQN內部或邊界時，矩形OMQN是點M，N，P的最佳外延矩形，且面積最小．

∵S矩形OMQN＝OM·ON＝6×8＝48， ∴點M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值為48．

拋物線與軸交于點T（0，5）． 令，有，

解得：x=－1（舍去），或x=5．

令y=8，有，解得x=1，或x=3．∴，或．

（3）．

考點：新定義的理解、二次函數的應用、圓的性質.