Question

7．如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上．若EB=2，DF=3，∠EAF=60°，則△AEF的面積等于$\frac{19\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 連接AC，由菱形ABCD中，∠D=60°，根據菱形的性質，易得△ADC是等邊三角形，證明△ADF≌△ACE，可得到：S_AECF=S_△ADC，EC=DF和菱形的邊長，求出S△_ACD、S_△ECF，根據面積間關系即可求出△AEF的面積．

解答 證明：如圖，連接AC，
∵在菱形ABCD中，∠D=60°，AD=DC，
∴△ADC是等邊三角形，
∵AC是菱形的對角線，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠DCB=60°，
∵∠FAC+∠EAC=∠FAC+∠DAF=60°，
∴∠EAC=∠DAF，
在△ADF和△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ACB}\\{AD=AC}\\{∠DAF=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ACE（ASA），
∴DF=CE=3，AE=AF，BC=BE+CE=AB=5．
∴S_{四邊形AECF}=S_△ACD
=$\frac{1}{2}$×5×5×sin60°
=$\frac{25}{4}\sqrt{3}$，
如圖，過F作FG⊥BC于G，則
S_△ECF=$\frac{1}{2}$CE•CF•sin∠GCF
=$\frac{1}{2}$CE•CF•sin60°
=$\frac{1}{2}$•6•$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴S_△AEF=S_{四邊形AECF}-S_△ECF
=$\frac{25}{4}\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}\sqrt{3}$
=$\frac{19}{4}\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{19}{4}\sqrt{3}$．

點評 本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及及三角形的面積的計算．準確作出輔助線構造全等三角形，利用圖形間的面積關系是解決本題的關鍵．