Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，AB⊥弦CD，垂足為E，∠A=27°，CD=8cm，BE=2cm．
（1）求⊙O的半徑，（2）求$\widehat{BD}$的長度（結果保留π）．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由圓周角定理得出∠COE=45°，根據垂徑定理可得CE=DE=4cm，證出△COE為等腰直角三角形，利用特殊角的三角函數可得答案；
（2）根據圓周角定理得到∠BOC=54°，于是得到$\widehat{BC}$的長度=$\frac{54•π×5}{180}$=$\frac{3}{2}$π，由于$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，即可得到結論．

解答 解：連接OC，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=4cm，
∵BE=2cm，
∴OE=OC-2，
∴OC²=4²+（OC-2）²，
∴OC=∴△COE為等腰直角三角形，
∴OC=5，
即⊙O的半徑為5cm；

（2）∵∠A=27°，
∴∠BOC=54°，
∴$\widehat{BC}$的長度=$\frac{54•π×5}{180}$=$\frac{3}{2}$π，
∵$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴$\widehat{BD}$的長度=$\frac{3}{2}$π．

點評 此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、以及三角函數的應用；關鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．