Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC上一點，連接AE，過點E作EM⊥AE，交對角線AC于點M，過點M作MN⊥AB，垂足為N，連接NE．

（1）求證：AE=NE+ME；

（2）如圖2，延長EM至點F，使EF=EA，連接AF，過點F作FH⊥DC，垂足為H．猜想CH與FH存在的數量關系，并證明你的結論；

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CH=FH，詳見解析；

【解析】

（1）過點N作NK⊥NE，交AE于點K，由“ASA”可證△ANK≌△MNE，可證AE=NE+ME；
（2）過點F作FP⊥BC，交BC的延長線于點P，利用正方形的性質AAS證明△ABE≌△EPF，即可解答；

（1）證明：過點N作NK⊥NE，交AE于點K．

∴∠KNE=90°．

∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°．

∴∠ANK=∠MNE．

∵ME⊥AE，∴∠AEM=∠ANM=90°．

∴∠NAK=∠NME．

∵四邊形ABCD是正方形，∠ANM=90°．

∴∠MAN=∠NMA=45°．

∴AN=MN．

在△ANK和△MNE中，

∵

∴△ANK≌△MNE．

∴AK=ME，NK=NE．

∴ KE=NE．

∴ AE=AK+KE=ME+NE．

解：（2）CH=FH．

過點F作FP⊥BC，交BC的延長線于點P．

∴∠P=90°．

∵∠BAE+∠AEB=∠FEP+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠FEP．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠BCD=∠PCD= 90°，AB=BC．

∵FH⊥CD，∴∠FHC=90°．

∴∠P=∠PCH=∠CHF=90°．

∴四邊形PCHF是矩形．

在△ABE和△EPF中，

∵

∴△ABE≌△EPF．

∴BE=PF，AB=EP．

∵AB=BC，

∴EP=BC．

∴CP=BE=PF．

∴矩形PCHF是正方形．

∴FH=CH．