Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（5，）、點B（9，﹣10），與y軸交于點C，點P是直線AC上方拋物線上的一個動點；

（1）求拋物線對應的函數解析式；

（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線BC交于點E，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；

（3）當∠PCB=90°時，作∠PCB的角平分線，交拋物線于點F．

①求點P和點F的坐標；

②在直線CF上是否存在點Q，使得以F、P、Q為頂點的三角形與△BCF相似，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x﹣1；（2）點P坐標為（ ， ）；（3）①P（3，2），F（6，﹣1）;②存在，理由見解析，點Q的坐標為（4，﹣1）或（﹣3，﹣1）

【解析】

（1）根據拋物線經過點A，點B，運用待定系數法即可求得拋物線對應的函數表達式；

（2）根據直線BC為： 可設點P的坐標為 則E 進而得到PE= 最后根據四邊形AECP的面積=△APE面積+△CPE面積，求得點P坐標為

（3）①根據∠PCB=90°，CF平分∠PCB，可得∠BCF=45°，進而得出CF∥x軸，則當y=-1時， 解得F 再根據直線CP為： 可得當

時，可得P

②根據直線CB： 直線PF： 可得CB∥PF，即可得到∠BCF=∠PFC=45°，故在直線CF上存在滿足條件的點Q，再設Q 由題可得CF=6，CB= PF= 最后分兩種情況進行討論：當△PFQ1∽△BCF時，當△PFQ∽△FCB時，分別求得t的值，即可得出點Q的坐標為

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（5， ）、點B（9，﹣10），

解得

∴拋物線對應的函數表達式為

（2）由拋物線可得，C（0，﹣1），B（9，﹣10），

∴直線BC為：y=﹣x﹣1，

設點P的坐標為（m，﹣m2+2m﹣1），則E（m，﹣m﹣1），

∴PE=﹣m2+2m﹣1﹣（﹣m﹣1）=﹣m2+3m，

∴四邊形AECP的面積=△APE面積+△CPE面積

= ×（﹣m2+3m）×m+×（﹣m2+3m）×（5﹣m）

=（﹣m2+3m）

=﹣m2+m，

=﹣（m﹣）2+，

∴當m=時，﹣m2+2m﹣1=，

∴點P坐標為 ；

（3）①過點B作BH⊥y軸于H，

∵C（0，﹣1），B（9，﹣10），

∴CH=BH=9，

∴∠BCH=45°，

∵∠PCB=90°，CF平分∠PCB，

∴∠BCF=45°，

∴∠FCH=90°，即CF∥x軸，

當y=﹣1時，﹣1=﹣x2+2x﹣1，

解得x1=0，x2=6，

∴F（6，﹣1），

∵CP⊥CB，C（0，﹣1），

∴直線CP為：y=x﹣1，

當x﹣1=﹣x2+2x﹣1時，解得x1=0，x2=3，

當x=3時，y=2，

∴P（3，2）；

②∵直線CB：y=﹣x﹣1，直線PF：y=﹣x+5，

∴CB∥PF，

∴∠BCF=∠PFC=45°，

∴在直線CF上存在滿足條件的點Q，

設Q（t，﹣1），

由題可得CF=6，CB=9，PF=3，

（ⅰ）如圖所示，當△PFQ1∽△BCF時，

，即

解得t=4，

∴Q1

（ⅱ）如圖所示，當△PFQ∽△FCB時，

，即

解得t=﹣3，

∴Q2（﹣3，﹣1）．

綜上所述，點Q的坐標為（4，﹣1）或（﹣3，﹣1）．