Question

如圖，已知點C在⊙O上，延長直徑AB到點P，連接PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圓弧的中點，求MA的長．

Answer 1

（1）∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.　　　　
∴∠COB=2∠OCA.
         ∵
∴∠OCA=∠PCB．………………………1分
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°,   
∴∠OCA+∠OCB=90°．
∴∠PCB +∠OCB=90°．
∴∠PCO=90°, ………………………2分
∵點C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切線. ………………………3分
(2) 連結BM．
∵M是⊙O下半圓弧中點  
∴ 弧AM=弧BM,
∴AM=BM．
∵AB是⊙O直徑，
∴∠AMB=90°.
∴∠BAM=∠ABM =45°
∵AC=PC,
∴∠OAC=∠P=∠OCA=∠PCB.
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=2∠PCB.
∵∠PCO=90°,
∴∠PCB=∠P=∠OAC=∠OCA=30°.
∠OBC=∠OCB="60" °.
∵PB=3，
∴BC=3,
∴AB="6." ……………………………4分
在Rt△ABM中,∠AMB =90°,
根據勾股定理，得AM= .       ……………………………5分

略