Question

4．如圖，點B、C、D都在半徑為4的⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求弦BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據圓周角的性質求得∠COB=2∠CDB=60°，然后證明四邊形ABDC為平行四邊形，從而證得∠A=∠D=30°，根據三角形的內角和定理證得∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，從而證得AC是⊙O的切線；
（2）根據平行線的性質得出∠OBD=30°，∠BEO=90°，然后通過直角三角函數即可求得BE，根據垂徑定理從而求得BD的長．

解答 （1）證明：連接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB，
又∵AC∥BD，
∴四邊形ABDC為平行四邊形，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD，
∴BE=DE，
∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=4，
∴BE=OBcos30°=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2BE=4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質，切線的判定，平行線的性質，解直角三角形等，連接OC構建直角三角形是解題的關鍵．