Question

6．在平面直角坐標系中，如果點P（x，y）的坐標滿足x+y=xy，那么稱P為和諧點．
（1）若點A（a，2）是正比例函數y=kx（k≠0，k為常數）上的一個和諧點，求這個正比例函數的解析式；
（2）試判斷函數y=-2x+1的圖象上是否存在和諧點？若存在，求出和諧點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）直線l：y=kx+2經過和諧點P，且與反比例函數G：y=-$\frac{4}{3x}$交于M、N兩點，若點P的縱坐標為3，求出直線l的解析式，并在x軸上找一點Q使得QM+QN最�。�

Answer 1

分析 （1）根據和諧點，列出方程求出a以及點A坐標，即可解決問題．
（2）不存在．設M（a，b）是函數y=-2x+1的圖象上和諧點，則有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=ab}\\{b=-2a+1}\end{array}\right.$，消去b得，a-2a+1=a（-2a+1），整理得2a²-2a+1=0，由△=4-8=-4＜0，可知方程無解，由此即可判斷．
（3）首先根據和諧點的定義求出點P的坐標，即可求出直線l的解析式，利用方程組求出點M、N的坐標，如圖，作點N關于x軸的對稱點N′，連接MN′交x軸于Q，此時NQ+QM最�。�求出直線N′M的解析式即可解決問題．

解答 解：（1）∵點A（a，2）是正比例函數y=kx（k≠0，k為常數）上的一個和諧點，
∴a+2=2a，
∴a=2，
∴A（2，2），
∴2=2k，
∴k=1，
∴正比例函數的解析式為y=x．

（2）不存在．理由如下，
設M（a，b）是函數y=-2x+1的圖象上和諧點，
則有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=ab}\\{b=-2a+1}\end{array}\right.$，消去b得，a-2a+1=a（-2a+1），整理得2a²-2a+1=0，
∵△=4-8=-4＜0，
∴方程無解，
∴函數y=-2x+1的圖象上不存在和諧點．

（3）由題意假設P（x，3），則x+3=3x，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，3），代入y=kx+2得3=$\frac{3}{2}$k+2，
∴k=$\frac{2}{3}$，
∴直線l的解析式的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+2}\\{y=-\frac{4}{3x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
不妨設M（-1，$\frac{4}{3}$），N（-2，$\frac{2}{3}$），如圖，作點N關于x軸的對稱點N′，連接MN′交x軸于Q，此時NQ+QM最�。�

∵N′（-2，-$\frac{2}{3}$），M（-1，$\frac{4}{3}$），
∴直線MN′的解析式為y=2x+$\frac{10}{3}$，
令y=0得到，x=-$\frac{5}{3}$，
∴點Q的坐標為（-$\frac{5}{3}$，0）．

點評 本題考查反比例函數綜合題、一次函數的應用、兩點之間線段最短、軸對稱-最短問題等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想思考問題，掌握利用對稱解決最短問題，學會構建一次函數解決問題，屬于中考壓軸題．