Question

18．如圖，在△ABC中，已知點D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）首先依據平行線的性質證明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后結合角平分線的定義可證明∠B=∠C，故此可證明△ABC為等腰三角形；
（2）首先證明△AEF≌△CFG，從而得到CG的長，然后可求得BC的長，于是可求得△ABC的周長．

解答 證明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE．
∴∠B=∠C．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中點，
∴AF=CF．
在△AFE和△CFG中$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠CAE}\\{AF=FC}\\{∠AFE=∠GFC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CFG．
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4．
∴BC=12．
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=10+10+12=32．

點評 本題主要考查的是等腰三角形的性質和判定，熟練掌握等腰三角形的性質和判定定理是解題的關鍵．