Question

10．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，在其內(nèi)部作正方形EFMN和正方形FIHG，點(diǎn)M在AC邊上，點(diǎn)H在BC邊上，點(diǎn)E、F、I在AB邊上．

（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)N和G重合時(shí)，求EI的長(zhǎng)；
（2）在兩個(gè)正方形變化過(guò)程中，EI的長(zhǎng)是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)求出EI的長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求這兩個(gè)正方形面積和的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則MH=EI=2x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)正方形MEFN的邊長(zhǎng)為x，正方形FIHG的邊長(zhǎng)為y，則AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，BI=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，列方程得到x+y=1，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)N和G重合，
∴EI=MH=2GF，CF⊥AB，
∵△ABC是等邊三角形，AB=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則MH=EI=2x，
∵M(jìn)H∥AB，
∴△CMH∽△CAB，
∴$\frac{MH}{AB}$=$\frac{CG}{CF}$，即$\frac{2x}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}-x}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴EI=1；
（2）EI的長(zhǎng)不發(fā)生改變，
理由：設(shè)正方形MEFN的邊長(zhǎng)為x，正方形FIHG的邊長(zhǎng)為y，
則AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，BI=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+x+y+$\frac{\sqrt{3}}{3}$y=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x+y=1，
∴EI=1，
即在兩個(gè)正方形變化過(guò)程中，EI的長(zhǎng)不發(fā)生改變；
（3）由（2）得x+y=1，則x²+y²≥$\frac{（x+y）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴這兩個(gè)正方形面積和的最小值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．