Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE垂直BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長．

Answer 1

（1） 證明見解析；（2）6.

【解析】

試題分析：（1）利用對應兩角相等，證明兩個三角形相似△ADF∽△DEC；

（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四變形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．

在△ADF與△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．

（2）【解析】
∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=AB=8．

由（1）知△ADF∽△DEC，

∴，

∴DE===12．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=．

考點：1.相似三角形的判定與性質；2.勾股定理；3.平行四邊形的性質．