Question

18．如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，設CE=x
（1）請求出AC+CE的最小值．
（2）請構圖求出代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）若點C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小；
（2）由（1）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值．

解答 解：連接AE交BD于C，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小；
∵四邊形BDEF是矩形，
BF=DE=1，EF=BD=8，
AF=AB+BF=5+1=6，
AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=10，
∴AC+CE的最小值是10；
（2）∵$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$，
如圖2所示，作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，
連接AE交BD于點C，設BC=x，則AE的長即為代數(shù)$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值．
過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，
則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=$\sqrt{A{F}^{2}+EF}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
即$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$的最小值為13．
故代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-24x+153}$的最小值為13．

點評 此題主要考查了軸對稱求最短路線以及勾股定理等知識，本題利用了數(shù)形結合的思想，求形如$\sqrt{{x}^{2}+4}$的式子的最小值，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解．