Question

18．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設交點式為y=a（x-1）（x-4），然后把C點坐標代入求出a=$\frac{3}{4}$，于是得到拋物線解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；
（2）先確定拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{5}{2}$，連結BC交直線x=$\frac{5}{2}$于點P，如圖，利用對稱性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根據兩點之間線段最短得到PC+PA最短，于是可判斷此時四邊形PAOC的周長最小，然后計算出BC=5，再計算OC+OA+BC即可．

解答 解：（1）設拋物線解析式為y=a（x-1）（x-4），
把C（0，3）代入得a•（-1）•（-4）=3，解得a=$\frac{3}{4}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{3}{4}$（x-1）（x-4），即y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；
（2）存在．
因為A（1，0）、B（4，0），
所以拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{5}{2}$，
連結BC交直線x=$\frac{5}{2}$于點P，如圖，則PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此時PC+PA最短，
所以此時四邊形PAOC的周長最小，
因為BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
所以四邊形PAOC周長的最小值為3+1+5=9．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了最短路徑問題．