Question

【題目】（感知）如圖1，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，將線段繞著點按逆時針方向旋轉至線段，過點作軸，垂足為點，易知，得到點的坐標為．

（探究）如圖2，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，將線段繞著點按逆時針方向旋轉至線段．

（1）求點的坐標．（用含的代數式表示）

（2）求出BC所在直線的函數表達式．

（拓展）如圖3，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在軸上，將線段繞著點按逆時針方向旋轉至線段，連結、，則的最小值為_______．

Answer 1

【答案】【探究】（1）點坐標為；（2）；【拓展】．

【解析】

探究:（1）證明△AOC≌△CMB（AAS），即可求解；
（2）根據點B的坐標為（m，m+1），點坐標，即可求解；
拓展：BO+BA=，BO+BA的值，相當于求點P（m，m）到點M（1，-1）和點N（0，-1）的最小值，即可求解．

解：探究：（1）過點作軸，垂足為點．

，

．

線段繞著點按逆時針方向旋轉至線段，

．

．

．

，

，

．

點坐標，點坐標，

點坐標為

（2）∵點B的坐標為（m，m+1），點C為（0，m），

設直線BC為：y=kx+b，

，解得：，

∴；

則BC所在的直線為：；

拓展：如圖作BH⊥OH于H．

設點C的坐標為（0，m），
由（1）知：OC=HB=m，OA=HC=1，
則點B（m，1+m），
則：BO+BA=，
BO+BA的值，相當于求點P（m，m）到點M（1，-1）和點N（0，-1）的最小值，
相當于在直線y=x上尋找一點P（m，m），使得點P到M（0，-1），到N（1，-1）的距離和最小，

作M關于直線y=x的對稱點M′（-1，0），
易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，
M′N=，
故：BO+BA的最小值為，

故答案為：．