Question

12．教學(xué)實(shí)驗(yàn)：畫∠AOB的平分線OC．
（1）將一塊最夠大的三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，使三角尺的兩條直角邊分別于OA，OB交于E，F(xiàn)（如圖①）．度量PE、PF的長度，PE=PF（填＞，＜，=）；
（2）將三角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)（如圖②）：
①PE與PF相等嗎？若相等請(qǐng)進(jìn)行證明，若不相等請(qǐng)說明理由；
②若OP=$\sqrt{2}$，請(qǐng)直接寫出四邊形OEPF的面積：1．

Answer 1

分析 （1）由題意容易得出結(jié)果；
（2）①把三角尺繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使三角尺的兩條直角邊分別與OA，OB垂直于M、N，證出四邊形OMPN是正方形，由ASA證明△PEM≌△PFN，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可．
②由①得出四邊形OMPN是正方形，△PEM≌△PFN，由正方形的性質(zhì)得出OM=ON=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP=1，四邊形OEPF的面積=正方形OMPN的面積=OM²=1即可．

解答 （1）解：PE=PF；
     故答案為：=；
（2）解：①PE=PF；理由如下：
把三角尺繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使三角尺的兩條直角邊分別與OA，OB垂直于M、N，如圖所示：
則∠PME=∠PNF=90°，四邊形OMPN是矩形
∵OP平分∠AOB，
∴PM=PN，
∴四邊形OMPN是正方形，
∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中$\left\{\begin{array}{l}∠PME=∠PNF\\ PM=PN\\∠MPE=∠NPF\end{array}\right.$
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PE=PF．
②由①得：四邊形OMPN是正方形，△PEM≌△PFN，
∴OM=ON=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP=1，四邊形OEPF的面積=正方形OMPN的面積=OM²=1；
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形面積的計(jì)算；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．