Question

11．如圖，在第一個△A₁BC中，∠B=30°，A₁B=CB，在邊A₁B上任取一D，延長CA₂到A₂，使A₁A₂=A₁D，得到第2個△A₁A₂D，在邊A₂B上任取一點E，延長A₁A₂到A₃，使A₂A₃=A₂E，得到第三個△A₂A₃E，…按此做法繼續下去，第n個等腰三角形的底角的度數是$\frac{75}{{2}^{n-1}}$度．

Answer 1

分析 先根據等腰三角形的性質求出∠BA₁A的度數，再根據三角形外角的性質及等腰三角形的性質分別求出∠CA₂A₁，∠DA₃A₂及∠EA₄A₃的度數，找出規律即可得出第n個等腰三角形的底角的度數．

解答 解：∵在△ABA₁中，∠B=30°，AB=A₁B，
∴∠BA₁A=$\frac{180°-∠B}{2}$=75°，
∵A₁A₂=A₁D，∠BA₁C是△A₁A₂D的外角，
∴∠DA₂A₁=$\frac{1}{2}$∠BA₁C=$\frac{1}{2}$×75°=37.5°；
同理可得，
∠EA₃A₂=$\frac{75°}{4}$，∠FA₄A₃=$\frac{75°}{8}$，
∴第n個等腰三角形的底角的度數=$\frac{75°}{{2}^{n-1}}$．
故答案為$\frac{75}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查的是等腰三角形的性質及三角形外角的性質，根據題意得出∠DA₂A₁，∠EA₃A₂及∠FA₄A₃的度數，進而找出規律是解答此題的關鍵．