Question

9．已知點(diǎn)P是正方形ABCD邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AD=4．PM∥FC交DC于M點(diǎn)     
（1）證明：△APB∽△DMP；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AP的長為x，問：當(dāng)x取何值時(shí)，線段DM的長取最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)和已知條件得出已知∠DPM=∠ABP，即可得出△APB∽△DMP；
（2）設(shè)AP=x，則PD=4-x，由相似三角形的性質(zhì)得出比例式，得出DM是關(guān)于x的二次函數(shù)，求出DM的最大值即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAP=∠D=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，
∵CF⊥BP，PM∥CF，
∴PM⊥BP，
∴∠APB+∠DPM=90°，
∴∠ABP=∠DPM，
∴△APB∽△DMP；
（2）解：設(shè)AP=x，則PD=4-x，AB=AD=4，
∵△APB∽△DMP，
∴$\frac{DM}{AP}=\frac{PD}{BA}$，即$\frac{DM}{4-x}=\frac{x}{4}$，
∴DM=$\frac{x（4-x）}{4}$=x-$\frac{1}{4}$x²=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
∴當(dāng)x=2時(shí)，即點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，DM有最大值，最大值為1．

點(diǎn)評 本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．