Question

18．如圖，已知正方形ABCD的邊長為10，以AB邊為直徑向外作半圓O，點E是半圓O上與點A、B不重合的任意一點，過點E作CB所在直線的垂線，垂足為點F．
（1）證明：△ABE∽△BEF；
（2）當△BCE=30°時，CE與AB交于點P，求$\frac{AP}{PB}$的值；
（3）當CE經過圓心O的時候，求tan∠EAB的值．

Answer 1

分析 （1）根據圓周角定理得到∠AEB=90°，得到∠AEB=∠EFB，根據平行線的性質得到∠FEB=∠EBA，根據相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據題意和正切的定義求出PB的長，根據正方形的性質求出AP的長，計算即可；
（3）作EG⊥AB于G，根據勾股定理求出PC的長，證明△EGP∽△CBP，根據相似三角形的性質求出EG，根據勾股定理求出GP，根據正切的定義計算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，又EF⊥BC，
∴EF∥AB，
∴∠FEB=∠EBA，
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠EFB，又∠FEB=∠EBA，
∴△ABE∽△BEF；
（2）∵∠BCE=30°，BC=10，
∴PB=BC•tan∠BCE=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴AP=10-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{10-\frac{10\sqrt{3}}{3}}{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$-1；
（3）如圖（3），作EG⊥AB于G，
∵CE經過圓心O，
∴PA=PE=PB=5，
∴CP=$\sqrt{P{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵EG∥BC，
∴△EGP∽△CBP，
∴$\frac{EG}{BC}$=$\frac{EP}{PC}$，即$\frac{EG}{10}$=$\frac{5}{5\sqrt{5}}$，
解得，EG=2$\sqrt{5}$，
∴GP=$\sqrt{E{P}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AG=5-$\sqrt{5}$，
∴tan∠EAB=$\frac{EG}{AG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點評 本題考查的是相似三角形知識的綜合運用，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、正方形的性質、圓周角定理是解題的關鍵，解答時，注意正確作出輔助線、靈活運用數形結合思想．