Question

13．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，點E為邊DC的中點，BE交AC于點F．求：
（1）AF：FC的值；
（2）EF：BF的值．

Answer 1

分析 （1）延長BE交直線AD于H，如圖，先由AD∥BC得到△DEH∽△CEB，則有$\frac{DH}{BC}$=$\frac{DE}{CE}$，易得DH=BC，加上BC=2AD，所以AH=3AD，然后證明△AHF∽△CFB，再利用相似比可計算出AF：FC的值；
（2）由△DEH∽△CEB得到EH：BE=DE：CE=1：1，則BE=EH=$\frac{1}{2}$BH，由△AHF∽△CFB得到FH：BF=AF：FC=3：2；于是可設BF=2a，則FH=3a，BH=BF+FH=5a，EH=$\frac{5}{2}$a，接著可計算出EF=FH-EH=$\frac{1}{2}$a，然后計算EF：BF的值．

解答 解：（1）延長BE交直線AD于H，如圖，
∵AD∥BC，
∴△DEH∽△CEB，
∴$\frac{DH}{BC}$=$\frac{DE}{CE}$，
∵點E為邊DC的中點，
∴DE=CE，
∴DH=BC，
而BC=2AD，
∴AH=3AD，
∵AH∥BC，
∴△AHF∽△CFB，
∴AF：FC=AH：BC=3：2；
（2）∵△DEH∽△CEB，
∴EH：BE=DE：CE=1：1，
∴BE=EH=$\frac{1}{2}$BH，
∵△AHF∽△CFB，
∴FH：BF=AF：FC=3：2；
設BF=2a，則FH=3a，BH=BF+FH=5a，
∴EH=$\frac{5}{2}$a，
∴EF=FH-EH=3a-$\frac{5}{2}$a=$\frac{1}{2}$a，
∴EF：BF=$\frac{1}{2}$a：2a=1：4．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在運用相似三角形的性質時，主要通過相似比得到線段之間的關系．