Question

（2013•沁陽市一模）以原點為圓心，1cm為半徑的圓分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點，點P的坐標為（2，0）．
（1）如圖1，動點Q從點B處出發，沿圓周按順時針方向勻速運動一周，設經過的時間為t秒，當t=1時，直線PQ恰好與⊙O第一次相切，連接OQ．求此時點Q的運動速度（結果保留）；
（2）若點Q按照（1）中的方向和速度繼續運動，
①當t為何值時，以O、P、Q為頂點的三角形是直角三角形；
②在①的條件下，如果直線PQ與⊙O相交，請求出直線PQ被⊙O所截的弦長．

Answer 1

分析：（1）連接OQ，求出∠QPO，求出∠BOQ，根據弧長公式求出即可；
（2）分為四種情況，畫出圖形，求出弧長，即可求出答案；
（3）作OM⊥PQ，根據面積公式即可求出答案．

解答：解：（1）如圖1，連接OQ，則OQ⊥PQ．
∵OQ=OA=1，OP=2，
∴∠QPO=30°，
∵∠PQO=90°，
∴∠QOP=60°，
∴∠BOQ=30°，
∴弧BQ的長是

30π×1

180

=

1

6

π，
∵運動時間t=1，
∴點Q的運動速度為

1

6

π；

（2）分為四種情況：①由（1）可知，當t=1時，△OPQ為直角三角形；
②如圖2，當點Q₁關于x軸對稱時，
△OPQ₁為直角三角形，此時∠BOQ₁=150°，
弧BQ₁=

5

6

π，T=5；
③當點Q₂（0，-1）或Q₃（0，1）時，∠POQ₂=∠POQ₃=90°，此時t=6或t=12
即當t=1，t=5，t=6或t=12時，△OPQ為直角三角形；

（3）如圖3，當t=6或t=12時，直線PQ與⊙O相交，設交點為N，
作OM⊥PQ，根據等面積法可知：PQ•OM=OQ•OP，
PQ=

OP2+OQ2

=

5

，OM=

2 5

5

，
QM=

OQ2-OM2

=

5

5

，
弦長QN=2QM=

2 5

5

CM．

點評：本題考查了弧長的計算，三角形面積公式，切線的性質，含30度角的直角三角形性質等知識點的應用，主要考查學生的計算能力，用了分類討論思想．