Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+bx+c與x軸交于A（-2，0）、B（6，0）兩點，交y軸于點C，連接BC．（1）求拋物線和直線BC的解析式；
（2）點M是直線BC上方拋物線上的一動點，過點M作MD∥y軸交線段BC于點D，過點M作ME⊥BC于點E，點F（0，a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（0，a）為y軸上兩點，連按MF、GB、BM，當(dāng)△MDE的周長最大時，求點M的坐標(biāo)和此時四邊形MFGB周長的最小值；
（3）如圖2，在y軸的負(fù)半軸上取點H，使得CH=CB，點P是x軸上一動點，連接CP、HP，將△CPH沿CP折疊至△CPH′，連接HH′，HB、BH′，當(dāng)△HBH′為等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．
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Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為方程組解決即可．
（2）如圖1中，延長MD交c軸于H．首先證明△DEM是含有30度角的特殊直角三角形，DM最大時，△DME的周長最大，構(gòu)建二次函數(shù)求出點M的坐標(biāo)，將點B向上平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$個單位得到點P（6，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），作點P關(guān)于y軸的對稱點P′（-6，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），連接P′M交y軸于F，此時四邊形BGFM的周長最小．
（3）分四種情形討論①如圖3中，當(dāng)HH′=BH′時，②如圖4中，當(dāng)PH=PH′時，③如圖5中，當(dāng)HB=HH′時，④如圖6中，當(dāng)HH′=BH′時，分別求出OP的長即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+bx+c與x軸交于A（-2，0）、B（6，0），
∴拋物線的解析式為拋物線y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x+2）（x-6）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$．
∴C（0，2$\sqrt{3}$），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$．

（2）如圖1中，延長MD交c軸于H．

∵tan∠CBO=$\frac{CO}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CBO=30°，
∵M(jìn)H⊥OB，
∴∠BHD=90°，
∴∠BDH=∠EDM=60°，
∵M(jìn)E⊥BC，
∴∠EMD=30°，
∴當(dāng)DM的值最大時，△EMD的周長最大，設(shè)M（m，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$）則D（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+2$\sqrt{3}$），
∴MD=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+$\sqrt{3}$m=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（m-3）²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{6}$＜0，
∴m=3時，MD有最大值，此時點M（3，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
如圖2中，∵點F（0，a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（0，a），∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
將點B向上平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$個單位得到點P（6，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），作點P關(guān)于y軸的對稱點P′（-6，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），連接P′M交y軸于F，此時四邊形BGFM的周長最小．

∵直線P′M的解析式為y=$\frac{2}{9}$$\sqrt{3}$x+$\frac{11}{6}$$\sqrt{3}$，
∴F（0，$\frac{11}{6}$$\sqrt{3}$），
∴四邊形BGFM的周長最小值=BG+FG+FM+BM=PF+FG+FM+BM=P′F+FM+FG+BM=P′M+FG+BM=$\sqrt{93}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{111}}{2}$．

（3）①如圖3中，當(dāng)HH′=BH′時，

易知∠HCH′=∠H′CB=30°，
∴∠PCO=∠PCH′=15°，在OC上取一點M，使得CM=PM，則∠PMO=30°，設(shè)OP=x，則PM=CM=2x，OM=$\sqrt{3}$x，
則有2x+$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
∴x=4$\sqrt{3}$-6，
∴P（4$\sqrt{3}$-6，0）．

②如圖4中，當(dāng)PH=PH′時，易知點P與點B重合，此時P（6，0）．


③如圖5中，當(dāng)HB=HH′時，易知點H′在x軸上．

易知∠PCO=30°，OP=OC•tan30°=2，此時P（-2，0）．

④如圖6中，當(dāng)HH′=BH′時，

易知∠CHH′=∠CH′H=15°，
∵PH′=PH，CH′=CH，
∴PC⊥HH′于K，
∴∠CPO+∠PCO=90°，∵∠HCK=75°，
∴∠CPO=15°，
在OP上取一點Q，使得PQ=CQ，則∠CQO=30°，PQ=CQ=2OC=4$\sqrt{3}$，OQ=$\sqrt{3}$CO=6，
∴OP=4$\sqrt{3}$+6，
∴P（-4$\sqrt{3}$-6，0）．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為（4$\sqrt{3}$-6，0）或（6，0）或（-2，0）或（-4$\sqrt{3}$-6，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、最值問題、軸對稱最短問題、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會利用對稱解決最短問題，本題體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中考壓軸題．