Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a²x+bx+4與x軸交于A、B兩點（點A在原點左側，點B在原點右側），與y軸交于點C．已知OA=1，OC=OB．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若點D為第一象限內拋物線上的一點，連接CD，DB，求四邊形OCDB的面積的最大值，并求出此時D點的坐標；
（3）設E是該拋物線上位于對稱軸右側的一個動點，過點E作x軸平行線交拋物線于另一點F，過點E作EH⊥x軸于點H，再過點F作FG⊥x軸于點G，得到矩形EFGH，在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長．

Answer 1

分析 （1）首先求得C的坐標，則B的坐標即可求得，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）設出D的坐標，則利用D的坐標即可表示出四邊形的面積，根據函數的性質求得最大值，則D的坐標即可求得；
（3）根據E和F關于對稱軸對稱，然后利用正方形的性質即可列方程求解．

解答 解：（1）在y=a²x+bx+4中令x=0，則y=4，則C的坐標是（0，4），
∵OC=OB，
∴B的坐標是（4，0）．
把（4，0）（-1，0），代入y=a²x+bx+4得：$\left\{\begin{array}{l}{\\;a-\\;b+4=0}\\{16\\;a+4\\;b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{\\;a=-1}\\{\\;b=3}\end{array}\right.$，
則函數的解析式是：y=-x²+3x+4；
（2）設直線BC的解析式是y=kx+b，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{4\\;k+\\;b=0}\\{\\;b=4}\end{array}\right.$，
解得：{，$\left\{\begin{array}{l}{\\;k=-1}\\{\\;b=4}\end{array}\right.$，
則直線BC的解析式是y=-x+4．
設D（m，-m²+3m+4），
作DE⊥x軸于點E．
則S_{四邊形OCEB}=S_梯形OCDE+S_△BED=$\frac{1}{2}$【4+（-m²+3m+4）】m+$\frac{1}{2}$（4-m）（-m²+3m+4）
=-2（m-2）²+14，
則當x=2時，y=-2+4=2，則D的坐標是（2，6），此時S的最大值是14；
（3）拋物線的對稱軸是x=$\frac{3}{2}$，
設正方形的邊長是n，則E的坐標是2（$\frac{\\;n}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{3}{2}$，n），
代入y=-x²+3x+4得：-（$\frac{\\;n}{2}-\frac{3}{2}$）²+3×（$\frac{\\;n}{2}$-$\frac{3}{2}$）+4=n，
解得：n=4+2$\sqrt{5}$或4-2$\sqrt{5}$（舍去）．
則正方形的面積是（4+2$\sqrt{5}$）²=36+16$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了二次函數的圖象與性質，把求四邊形的面積最大值的問題轉化為函數最值問題是解決本題的關鍵．