Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在軸的正半軸上，將線段繞點順時針旋轉90°得到，過點作軸的垂線，垂足為，連接交軸于點．

（1）當點在第三象限時，求實數的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，設，當取得最大值時，求圖象經過兩點的二次函數的解析式；

（3）在（2）的條件下，將直線向上平移個單位后與二次函數的圖象交點的橫坐標為，若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）將點B向下平移m個單位，此時點A′（6，﹣m），將此時點AB繞點B順時針旋轉90°得到點C′（﹣m，﹣6），將點C′向上平移m的單位得到點C（﹣m，m﹣6），即可求解；

（2）S＝S△ABO+S△ADC＝×AO×BO+×AD×CD＝×6×m+×（6+m）×（6﹣m）＝﹣m2+3m+18，故S有最大值，此時，m＝3，即可求解；

（3）函數的交點的橫坐標為x0，若x0≥﹣3，則x＝﹣3時，拋物線在直線的上方，即可求解．

解：（1）將點B向下平移m個單位，此時點A′（6，﹣m），將此時點AB繞點B順時針旋轉90°得到點C′（﹣m，﹣6），

將點C′向上平移m的單位得到點C（﹣m，m﹣6），

點C在第三象限時，﹣m＜0且m﹣6＜0，

解得：0＜m＜6；

（2）S＝S△ABO+S△ADC＝×AO×BO+×AD×CD＝×6×m+×（6+m）×（6﹣m）＝﹣m2+3m+18，

∵﹣＜0，故S有最大值，此時，m＝3，

故點C（﹣3，﹣3），點A（6，0），

將點C、A的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線AC的表達式為：y＝x﹣2，故點E（0，﹣2），

則c＝﹣2，將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝36a﹣6﹣2，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣2…①；

（3）直線y＝（2﹣k）x+2向上平移k個單位后得到函數為：y＝（2﹣k）x+2+2…②，

聯立①②并整理得：x2﹣（3﹣k）x﹣4﹣k＝0，

△＝（3﹣k）2+（4+k）＝k2﹣k+＞0，

故拋物線于直線有兩個交點，

交點的橫坐標為x0，若x0≥﹣3，則x＝﹣3時，拋物線在直線的上方，

當x＝﹣3時，y＝x2﹣x﹣2＝3，

當x＝﹣3時，y＝（2﹣k）x+2+2＝4k﹣4，

即4k﹣4≤3，

解得：k≤．