Question

（11分）已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，其中點B在軸的正半軸上，點C在軸的正半軸上，OB=2，OC=8，拋物線的對稱軸是直線．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）連接AC、BC、，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E做EF//AC交與點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）在（2）的基礎上說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2），（0＜m＜8）；（3）當m＝4時，S有最大值，．此時，點E的坐標為（—2，0）， △BCE是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）先根據線段OB、OC的長，得到點B、C兩點坐標，根據拋物線的對稱性可得點A坐標；把A、B、C三點代入二次函數解析式就能求得二次函數解析式；

（2）利用A、B、C三點坐標得出AB，CO的長，即可得出△ABC的面積；易得，只需利用平行得到三角形相似，求得EF長，進而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE邊上的高；

（3）利用二次函數求出最值，進而求得點E坐標．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形．

試題解析：（1）∵點B在軸的正半軸上，點C在軸的正半軸上，OB=2，OC=8，∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）． 又∵拋物線的對稱軸是直線，∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（－6，0）．∵點C（0，8）在拋物線的圖象上，∴c ＝8，將A（－6，0）、B（2，0）分別代入，得：，解得：，∴所求拋物線的表達式為；

（2）依題意，AE＝m，則BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8，由勾股定理得AC＝10，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．∴，即，∴EF＝．過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝．∴．∴FG＝，

∴S===，自變量m的取值范圍是0＜m＜8；

（3）存在．理由如下：

∵且，∴當m=4時，S有最大值，，

∵m=4，∴點E的坐標為（﹣2，0），∴△BCE為等腰三角形．

考點：二次函數綜合題．