Question

7．甲同學在數學學習中對“自定義型題”有了一定的了解．他嘗試著自定義了“姐妹三角形”和“姐妹四邊形”的概念：如果一個直角三角形的一條直角邊與另一直角三角形的一條直角邊重合，兩個三角形不重合也不全等，且兩個直角三角形的對應邊成比例，我們稱這兩個直角三角形是一對“姐妹三角形”．由這兩個直角三角形拼成的四邊形稱為“姐妹四邊形”．

解答下列問題：
（1）如圖1，判斷四邊形ABCD是否為“姐妹四邊形”，請說明判斷的理由，并求出圖1中對角線AC的長；
（2）如圖2，在10×10的正方形網格中，給定一個Rt△ABC，請你畫出所有使以A、B、C為項點的四邊形是一個“姐妹四邊形”的另一個頂點D．

Answer 1

分析 （1）根據題中的信息，驗證是否符合即可，很明顯圖1是．如圖1，過點C 作CE⊥AB交AB延長線于E，連接AC．結合勾股定理來求AC的長度；
（2）根據題中所給的定義，只要找到一個直角三角形，它的一條直角邊與另一直角三角形的一條直角邊重合，兩個三角形不重合也不全等，且兩個直角三角形的對應邊成比例．

解答 解：（1）在直角△ABD中，AB=$\sqrt{A{D}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{9}{2}$．
在直角△CBD中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=10．
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{3}{4}$．
又∵BD=DB，∠ABD=∠BDC=90°，
∴△ABD與△CBD是一對“姐妹三角形”．
如圖1，

過點C 作CE⊥AB交AB延長線于E，連接AC．
∵四邊形BECD為矩形，DC=BE=8，CE=BD=6，
∴AE=AB+BE=$\frac{25}{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{661}}{2}$；

（2）符合要求的點D如圖2所示．

點評 本題考查了圖形的剪拼，全等三角形的性質．解題的關鍵是理解“姐妹三角形”的定義．