Question

【題目】若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們稱這個三角形是比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝1，BC＝2，求AC的長．

（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，對角線BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC

①求證：△ABC是比例三角形

②若AB∥DC，如圖2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）AC＝；（2）①詳見解析；②．

【解析】

（1）根據比例三角形的定義，分AB2＝BCAC、BC2＝ABAC、AC2＝ABBC三種情況分別代入計算可得；

（2）①先證△ADC∽△CAB，得ADBC＝AC2，再由∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠DBC，推出AB＝AD即可得；②首先證明四邊形ABCD是菱形，根據∠BAC＝∠ADC可得△ABC是等邊三角形，然后根據含30° 直角三角形的性質可得答案．

解：（1）設AC＝m．

由題意m2＝1×2或12＝2m或22＝m，

∴m＝，m＝（不符合三角形三邊關系定理，舍去），m＝4（不符合三角形三邊關系定理，舍去），

故AC＝；

（2）①∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵∠BAC＝∠ADC，

∴△ADC∽△CAB，

∴，

∴ADBC＝AC2，

∵∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∴ABBC＝AC2，

∴△ABC是比例三角形；

②由①知AD∥BC，

∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB＝AD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∵∠BAC＝∠ADC，且∠BAC＝∠BCA，

∴∠ADC＝∠BCA，

∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴BO＝AO，DO＝OC，

∴BO+DO＝（OA+OC），

∴BD＝AC，

∴＝．